8.2 公倍数与公因数
利用辗转相除法
,我们可以很方便地求得两个数的最大公因数(greatest common divisor,GCD);将两个数相乘再除以最大公因数即可得到最小公倍数(least common multiple, LCM)。
- C++
- Python
int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b) {
return a * b / gcd(a, b);
}
def gcd(a: int, b: int) -> int:
return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
def lcm(a: int, b: int) -> int:
return (a * b) // gcd(a, b)
进一步地,我们也可以通过扩展欧几里得算法(extended gcd)在求得 a 和 b 最大公因数的同时,也得到它们的系数 x 和 y,从而使 ax + by = gcd(a, b)。因为 Python 中 int 只能按值传递,我们可以用一个长度固定为 1 的 list() 来进行传递引用的操作。
- C++
- Python
int xGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int x_inner, y_inner;
int gcd = xGCD(b, a % b, x_inner, y_inner);
x = y_inner, y = x_inner - (a / b) * y_inner;
return gcd;
}
def xGCD(a: int, b: int, x: List[int], y: List[int]) -> int:
if b == 0:
x[0], y[0] = 1, 0
return a
x_inner, y_inner = [0], [0]
gcd = xGCD(b, a % b, x_inner, y_inner)
x[0], y[0] = y_inner, x_inner - (a / b) * y_inner
return gcd